数式テスト - KARASH1’s blog

HatenaBlog上での数式の記載練習に色々書き殴ります

Y-Δ変換

Y側　線間電圧 $\dot{V}_{ab.y}$ , $\dot{V}_{bc.y}$ , $\dot{V}_{ca.y}$
Δ側　線間電圧 $\dot{V}_{ab.d}$ , $\dot{V}_{bc.d}$ , $\dot{V}_{ca.d}$
Δ側　　相電圧 $\dot{E}_{ab.d}$ , $\dot{E}_{bc.d}$ , $\dot{E}_{ca.d}$

線間電圧はY-Δ変換前で等しい。
$\dot{V}_{ab.y}=\dot{V}_{ab.y}\equiv \dot{V}_{ab}$
$\dot{V}_{bc.y}=\dot{V}_{bc.y}\equiv \dot{V}_{bc}$
$\dot{V}_{ca.y}=\dot{V}_{ca.y}\equiv \dot{V}_{ca}$

Δ側相電圧と線間電圧は等しいので
$\dot{V}_{ab}=\dot{E}_{ab.d}$
$\dot{V}_{bc}=\dot{E}_{bc.d}$
$\dot{V}_{ca}=\dot{E}_{ca.d}$

ここで，線間電圧をY側相電圧の大きさ $E_y$ を用いて表す。
$\dot{V}_{ab}=\sqrt{3}E_y\varepsilon^{j\frac{\pi}{6}}$
$\dot{V}_{bc}=\sqrt{3}E_y\varepsilon^{j\frac{\pi}{6}-\frac{2}{3}\pi}$
$\dot{V}_{ca}=\sqrt{3}E_y\varepsilon^{j\frac{\pi}{6}-\frac{4}{3}\pi}$

Δ側相電圧Y側相電圧を比較すると
$\dot{V}_{ab}=\dot{E}_{ab.d}=\sqrt{3}E_y\varepsilon^{j\frac{\pi}{6}}$
$\dot{V}_{bc}=\dot{E}_{bc.d}=\sqrt{3}E_y\varepsilon^{j\frac{\pi}{6}-\frac{2}{3}\pi}$
$\dot{V}_{ca}=\dot{E}_{ca.d}=\sqrt{3}E_y\varepsilon^{j\frac{\pi}{6}-\frac{4}{3}\pi}$

以上より，Y側相電圧を $\sqrt{3}$ 倍して，位相を $+\frac{\pi}{6}$ 進めることによってΔ側相電圧を得る(線間電圧を求めてるだけだから当たり前)。

ベクトル

〇直交座標( $x$ , $y$ , $z$ )

基底( $\boldsymbol{a_x}$ , $\boldsymbol{a_y}$ , $\boldsymbol{a_z}$ )

・線素ベクトル
$x$ 方向： $d\boldsymbol{l_x} = dx\boldsymbol{a_x}$
$y$ 方向： $d\boldsymbol{l_y} = dy\boldsymbol{a_y}$
$z$ 方向： $d\boldsymbol{l_z} = dz\boldsymbol{a_z}$
$d\boldsymbol{l} = dx\boldsymbol{a_x}+dy\boldsymbol{a_y}+dz\boldsymbol{a_z}$

・面素ベクトル
$x$ 方向： $d\boldsymbol{S_x} = d\boldsymbol{l_y}\times d\boldsymbol{l_z} = dy\boldsymbol{a_y}\times dz\boldsymbol{a_z} = dydz\boldsymbol{a_x}$
$y$ 方向： $d\boldsymbol{S_y} = d\boldsymbol{l_z}\times d\boldsymbol{l_x} = dz\boldsymbol{a_z}\times dx\boldsymbol{a_x} = dxdz\boldsymbol{a_y}$
$z$ 方向： $d\boldsymbol{S_z} = d\boldsymbol{l_x}\times d\boldsymbol{l_y} = dx\boldsymbol{a_x}\times dy\boldsymbol{a_y} = dxdy\boldsymbol{a_z}$
$d\boldsymbol{S} = d\boldsymbol{S_x}+d\boldsymbol{S_y}+d\boldsymbol{S_z} = dx\boldsymbol{a_x}+dy\boldsymbol{a_y}+dz\boldsymbol{a_z}$

・体積素
$dV = d\boldsymbol{l_x}\times d\boldsymbol{l_y} \cdot d\boldsymbol{l_z} = dxdydz$

〇円柱(円筒)座標( $r$ , $\phi$ , $z$ )

・変換
$x=r\cos \phi$
$y=r\sin \phi$
$z=z$

基底( $\boldsymbol{a_r}$ , $\boldsymbol{a_\phi}$ , $\boldsymbol{a_z}$ )

・線素ベクトル

$r$ 方向： $d\boldsymbol{l_r} = dr\boldsymbol{a_r}$
$\phi$ 方向： $d\boldsymbol{l_\phi} = rd\phi\boldsymbol{a_\phi}$
$z$ 方向： $d\boldsymbol{l_z} = dz\boldsymbol{a_z}$
$d\boldsymbol{l} = dr\boldsymbol{a_r}+rd\phi\boldsymbol{a_\phi}+dz\boldsymbol{a_z}$

・面素ベクトル

$r$ 方向： $d\boldsymbol{S_r} = d\boldsymbol{l_\phi}\times d\boldsymbol{l_z} = rd\phi\boldsymbol{a_\phi}\times dz\boldsymbol{a_z} = rd\phi dz\boldsymbol{a_r}$
$\phi$ 方向： $d\boldsymbol{S_\phi} = d\boldsymbol{l_z}\times d\boldsymbol{l_r} = dz\boldsymbol{a_z}\times dr\boldsymbol{a_r} = drdz\boldsymbol{a_\phi}$
$z$ 方向： $d\boldsymbol{S_z} = d\boldsymbol{l_r}\times d\boldsymbol{l_\phi} = dr\boldsymbol{a_r}\times rd\phi\boldsymbol{a_\phi} = rdrd\phi\boldsymbol{a_z}$
$d\boldsymbol{S} = d\boldsymbol{S_r}+d\boldsymbol{S_\phi}+d\boldsymbol{S_z} = rd\phi dz\boldsymbol{a_r}+drdz\boldsymbol{a_\phi}+rdrd\phi\boldsymbol{a_z}$

・体積素
$dV = d\boldsymbol{l_r}\times d\boldsymbol{l_\phi} \cdot d\boldsymbol{l_z} = rdrd\phi dz$

〇球座標( $r$ , $\theta$ , $\phi$ )

・変換
$x=r\sin \theta \cos \phi$
$y=r\sin \theta \sin \phi$
$z=r\cos \theta$

基底( $\boldsymbol{a_r}$ , $\boldsymbol{a_\theta}$ , $\boldsymbol{a_\phi}$ )

・線素ベクトル
$r$ 方向： $d\boldsymbol{l_r} = dr\boldsymbol{a_r}$
$\theta$ 方向： $d\boldsymbol{l_\theta} = rd\theta\boldsymbol{a_\theta}$
$\phi$ 方向： $d\boldsymbol{l_\phi} = r\sin\theta d\phi\boldsymbol{a_\phi}$
$d\boldsymbol{l} = dr\boldsymbol{a_r}+rd\theta\boldsymbol{a_\theta}+r\sin\theta d\phi\boldsymbol{a_\phi}$

・面素ベクトル
$r$ 方向： $d\boldsymbol{S_r} = d\boldsymbol{l_\theta}\times d\boldsymbol{l_\phi} = rd\theta\boldsymbol{a_\theta}\times r\sin\theta d\phi\boldsymbol{a_\phi} = r^2sin\theta d\theta d\phi\boldsymbol{a_r}$
$\theta$ 方向： $d\boldsymbol{S_\theta} = d\boldsymbol{l_\phi}\times d\boldsymbol{l_r} = r\sin\theta d\phi\boldsymbol{a_\phi}\times dr\boldsymbol{a_r} = r\sin\theta drd\phi\boldsymbol{a_\theta}$
$\phi$ 方向： $d\boldsymbol{S_\phi} = d\boldsymbol{l_r}\times d\boldsymbol{l_\theta} = dr\boldsymbol{a_r}\times rd\theta\boldsymbol{a_\theta} = rdrd\theta\boldsymbol{a_\phi}$
$d\boldsymbol{S} = d\boldsymbol{S_r}+d\boldsymbol{S_\theta}+d\boldsymbol{S_\phi} = r^2\sin\theta d\theta d\phi\boldsymbol{a_r}+r\sin\theta drd\phi\boldsymbol{a_\theta}+rdrd\theta\boldsymbol{a_\phi}$

・体積素
$dV = d\boldsymbol{l_r}\times d\boldsymbol{l_\theta} \cdot d\boldsymbol{l_\phi} = r^2\sin\theta drd\theta d\phi$

$\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} \\ \\ \end{array} \right. \end{eqnarray}$

電磁気

〇ガウスの法則

$\oint_s\boldsymbol{E}\cdot d\boldsymbol{S} = \frac{1}{\varepsilon}\int_v\rho dv$
左辺：任意の閉曲面から流れ出す電気力線の数
右辺：その閉曲面の全電荷量を真空の誘電率 $\varepsilon_0$ で除したものに等しい

Ex1.) 点電荷 $Q$ [C]から $r$ [m]離れた点の電界。
球座標系で考えると， $r$ 方向の電気力線は生じるものの，回転する方向である $\theta$ 及び $\phi$ 方向には電気力線は生じない。
よって，
$\boldsymbol{E} = E_r(r)\boldsymbol{a_r}+0\boldsymbol{a_\theta}+0\boldsymbol{a_\phi} = E_r(r)\boldsymbol{a_r}$
となる。( $r$ 方向の成分だけ残す)

面素ベクトル
$d\boldsymbol{S} = d\boldsymbol{S_r}+d\boldsymbol{S_\theta}+d\boldsymbol{S_\phi} = r^2\sin\theta d\theta d\phi\boldsymbol{a_r}+r\sin\theta drd\phi\boldsymbol{a_\theta}+rdrd\theta\boldsymbol{a_\phi}$
との内積は，
$\boldsymbol{E}\cdot d\boldsymbol{S} = E_r(r)\boldsymbol{a_r}\cdot (r^2\sin\theta d\theta d\phi\boldsymbol{a_r}+r\sin\theta drd\phi\boldsymbol{a_\theta}+rdrd\theta\boldsymbol{a_\phi}) = E_r(r)r^2\sin\theta d\theta d\phi$
と求められる。

これを球面に沿って積分する。
$\oint_s\boldsymbol{E}\cdot d\boldsymbol{S} = \int_0^x\int_0^{2\pi}E_r(r)r^2\sin\theta \ d\theta d\phi = 4\pi r^2E_r(r)$ ...左辺

題意より，閉曲面内の全電荷量は $Q$ であるので，
$\frac{Q}{\varepsilon_0}$ ...右辺
となる。

以上より，
$4\pi r^2E_r(r)=\frac{Q}{\varepsilon_0}$
$E_r(r)=\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0 r^2}$ [V/m]

Ex2.) $z$ 軸方向に無限長の半径 $a$ [m]の円柱内部に一様に体積電荷密度 $\rho [{\rm C/m^3}]$ で電荷が分布している。この電荷が作る電界分布。

円柱座標系で考えると，電荷分布の軸対称性から $\phi$ 方向には電気力線は生じない。 $z$ 軸方向の電界は互いに打ち消されるため $r$ 方向の電気力線のみ考えればよい。

よって，
$\boldsymbol{E} = E_r(r)\boldsymbol{a_r}+0\boldsymbol{a_\phi}+0\boldsymbol{a_z} = E_r(r)\boldsymbol{a_r}$
となる。

面素ベクトル
$d\boldsymbol{S} = d\boldsymbol{S_r}+d\boldsymbol{S_\phi}+d\boldsymbol{S_z} = rd\phi dz\boldsymbol{a_r}+drdz\boldsymbol{a_\phi}+rdrd\phi\boldsymbol{a_z}$
との内積は，
$\boldsymbol{E}\cdot d\boldsymbol{S} = E_r(r)\boldsymbol{a_r}\cdot (rd\phi dz\boldsymbol{a_r}+drdz\boldsymbol{a_\phi}+rdrd\phi\boldsymbol{a_z}) = E_r(r)rd\phi dz$
と求められる。

これを $z$ 軸方向の長さ $l [{\rm m}]$ の円筒の閉曲面に沿って積分する。
$\oint_s\boldsymbol{E}\cdot d\boldsymbol{S} = \int_0^{2\pi}\int_0^{l} E_r(r)rd\phi dz = 2\pi rlE_r(r)$ ...左辺

次に，右辺を場合分けして求める。
①円柱内部( $0\lt r\lt a$ )の電荷量を求める。
$\frac{1}{\varepsilon}\int_v\rho dv = \frac{1}{\varepsilon_0}\int_v \rho dv=\frac{1}{\varepsilon_0}\int_0^{r}\int_0^{2\pi}\int_0^{l}\rho\ rdrd\phi dz = \frac{\rho l\pi r^2}{\varepsilon_0}$ …右辺①

②円柱外部( $r\gt a$ )から見た電荷量を求める。
これは，円柱半径 $a [{\rm m}]$ 内の全電荷量を求めるだけ。
$\frac{1}{\varepsilon}\int_v\rho dv = \frac{1}{\varepsilon_0}\int_v \rho dv=\frac{1}{\varepsilon_0}\int_0^{a}\int_0^{2\pi}\int_0^{l}\rho\ rdrd\phi dz = \frac{\rho l\pi a^2}{\varepsilon_0}$ …右辺②

以上の結果を用いて，各領域における電界分布を求める。

$\begin{eqnarray} E(r) = \left \{\begin{array}{l} \frac{\rho r}{2\varepsilon_0}[{\rm V/m}](0\lt r\lt a)\\ \frac{\rho a^2}{2r\varepsilon_0}[{\rm V/m}](r\gt a)\end{array} \right. \end{eqnarray}$